中国历代数学著作,宋元数学高潮的代表作之一

《数书九章》,本名《数术》,又称《数术大略》、《数学大略》、《数学九章》,是中国唐代重要物理专著,宋元物理高潮的代表作之一。明朝秦九韶撰。清朝及元、明无刻此书的记载。明修《永乐大典》将此书分类抄写,题称《数学九章》。清乾隆中开《四库全书》馆,馆臣从《永乐大典》中辑出该书,凡9卷,题跋后抄入《四库全书》。李锐(1768—1817)由《四库全书》本录得一古本,再加校注。明弘治间苏州赵琦美藏有一古本,名《数书九章》,9类,18卷,系文渊阁藏本的辗转古本。清顺治间,此本为张敦仁(1754—1834)所得。道光初,沈钦裴著述是书,以老病未卒业,其弟子宋景昌绍其志,汇合各家校注,并撰《札记》4卷,道光二十二年(1842)由北京郁松年刻入《宜稼堂丛刊》,是为最流行的版本。随后《古今算学丛刊》、《丛书集成初编》、《国学基本丛刊》诸本皆宗于此。

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秦九韶(约1202—约1261),自诩鲁郡(今河北省泰安、兖州一带)人,生于普州仁寿县(今陕西省汉源县),一说秦风间人,当是误传,西晋物理家、天文学家。其父秦季槱最早的数学著作,弘治举人,曾任刺史、知府、秘书少监等职,九韶中学生仍然随父在任所,得在上海从隐君子受物理,向太史学习天文学。成年后在今河南、安徽、江浙一带作过地方官,并注意搜集研究物理问题。淳祐五年(1247)丁母忧解职家饰期间完成本书。他在序言中提出“数与道非二本”的观点,觉得物理“大则可以通神明,顺性命,小则可以经世务,类万物”,而自己的研究则在经世务、类万物方面。他反驳了贬低物理、不认真学习语文知识的错误心态,全面阐述了物理在国计民生各个领域中的巨大作用,本书便是他“设为问答以拟于用”的总结。九韶晚年任琼州守、司农司丞,贾似道劝谏祸国,残害吴潜党人,九韶被诛杀,窜之漳州,在梅治政不辍,卒于任所。九韶参与了贾、吴之争,被迫随贾的缜密、刘克庄丑诋不堪,而九韶之履历,多赖此以传。清学者焦循(1763—1820)曾为之辨诬。关于九韶之人品,仍是一个谜团,然他“性极机巧,占星、音律、算术因而营造等事无不精究”,“游戏、毬、马、弓、剑,莫不能知”,则是公认的。 #

本书包括大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易凡9类,18卷,81问,20余万字,每类2卷,9问。大衍类是以一次同余式组解法解决各类实际问题。所谓一次同余式问题就是求满足同余式组N≡Ri(madai)(i=1,2,……n)的正整数N,上式的直观意义是N以ai数之,剩Ri,物理上称N、Ri对模ai同余,i=1,2,……n。这类问题在中国语文专著中最先见之于《孙子算经》物不知数问;而天文学家制订历法估算上元积年时,也要解同余式组。但是后者失之于过简,前者未产生系统方式,所谓“历家虽用,用而不知”,以致误觉得线性多项式组解法。本书的大衍总量术比较系统地解决了这个问题。其基本思想是:在诸ai两两无公约数(相当于今两两互素)时,若能求出诸ki,使

…ai-1ai+1…an≡1(modai),i=1,2,…n,则N≡…ai-1ai+1…an(…an)。为求出诸ki,首先借助同余式的传递性:若a1a2…ai-1ai+1…an>ai,而a1a2…ai-1ai+1…an≡gi(modai),0〈gi〈ai,则kigi≡1(modai)与…ai-1ai+1…an≡1(modai)等价;随即用gi与ai辗转相除,及一整套估算程序,求出满足要求的ki,诸ki称为乘率。因估算乘率的辗转相除要到右上奇一而一,因此把求乘率ki的方式叫做大衍求一术,它是大衍总量术的核心。而实际问题中诸问数ai的情况极复杂,有分数、小数及有公因子等各类情况,大衍总量术针对各类情况,提出了不同的程序将它们化成两两无公因子的情况。虽然因为中国古时没有质数及互素概念,化约过程中走了些弯路,但这其实是在世界上第一次系统解决这类问题。在法国,现代物理大师欧拉、高斯才达到这些水平。本书用大衍总量术解决了历法制订、土木建筑、利息、追及因而断案等各类实际问题,还拿来附会《周易》大衍之数的估算,这便是为何秦九韶把这些技巧冠以“大衍”的名称。大衍求一术及蓍卦发微题草中有“天元一”,清《四库》馆臣误以为即天元术,焦循撰《天元一释》为之辨正,今《辞源》仍悉用《四库》馆臣的错误见解。

本书第2-9类按应用对象分类,第2天时类解决历法制订、天象测算、测算暴雨降雨量等中的物理问题,其中的天池盆是世界文化史上最早的雨量器。第3田域类。估算了各类形状的田地面积估算的复杂问题,反映了江南人民围海、围湖造田的壮举。第4测望类是测望山、水、城、塔,修补古迹及测望敌人的远近等问题。第5官吏类是关于赋税、户税问题,反映了明朝课税的实际情况,如复邑修赋问是估算曾被海水淹没的大片农地重新修补后六乡九等田按各乡人数、田地等级分配每斤田应出的苗米、和买、夏税,问题的答案有180多项。第6钱谷物是征购米粮和库房体积问题,设计了因为清朝各地加强量器,降低田租导致量器混乱而出现的物理估算问题,记载了元朝发行世界上最早的纸钞会子及新旧会子的兑换情况。第7营建类是建筑各类城邑、台亭以及顶管河道、修造石坝中的物理问题,其中计造清台问是世界上现存最早的天文台设计图。第8军旅类是关于营盘布置最早的数学著作,测算敌人人数,以及军械供应等方面的物理问题。将军旅类列为一类,加上测望类的2个望敌题目,共11个军事问题,这在中国唐代重要物理专著中是仅见的,这是秦九韶所处的时代边患严重,宋金、宋元战争激烈的反映,并彰显了秦九韶将自己丰富深沉的物理知识为抗元战争服务的主战派立场。第9市物类处理国外外商业贸易和月息问题,反映了当时从海外进口香料,官方颁布的盐钞、度牒等有价期货在海外取得信用的情况。其实,本书承继了《九章算术》开创的物理理论密切社会实际须要的优良传统,关于唐代社会经济情况记述之详实,不亚于《宋史》。 #

本书第2-9类用到了《九章算术》以来的许多物理方式,并有了创造性的发展。其中,最重要的是以增乘开方式为主导的正负开方术,即现在求高次方程正根的秦九韶程序。这些方式在西方称为霍纳法,或霍纳-鲁菲尼方式,是美国物理家鲁菲尼和美国物理家霍纳在19世纪初创造的,比秦九韶晚出近六百年。增乘开方式是清朝物理家贾宪创造的,它以随乘随加取代往年开方中一次借助贾宪三角各廉相加,变乘为加,程序整齐简便。12世纪刘益又引入负系数开方。本书的正负开方术则把增乘开方式发展到非常完备的程度:规定常数项永为负,相当于把多项式常数项从右端移到上端,于是可把随乘随加进行究竟;多项式系数可正可负,可为分数,亦可为小数,并针对系数为无理数,开方过程中常数项绝对值变大,或由负变正等不怜悯况,创造了不同的处理方式,后两种情况分别名为换骨和投胎;开方不尽时,秦九韶承继刘徽求微数的方式,以十进小数表示无理根的近似值,本书十进小数的记法与现在非常相仿(用单位作为小数点),为中国成为世界上最早使用小数的国家做出了贡献。本书中共21个问题用开方术解决,富含32个二次或更高的开方法,其中二次26个,三次1个,四次4个,十次1个。值得注意的是遥度圆域和三斜求积等问,后者在列十次多项式时用到了勾股差率,是另一种勾股数通解公式,前者富含用三角形三边求其面积的公式,与古埃及海伦公式暗合,此公式还用于斜荡求积、计地容民等问题的解决。 #

《九章算术》的等式术即线性多项式组解法中用直加法,刘徽创造了互乘相消法,但近千年未造成人们的注重,本书卷三缀术推星,卷十七推求物价、均货推本三问用多项式术求解,完全废止了直加法,提出了互乘相消法的完整术文,与今之解法无异,是个贡献。在有的题目中,在互乘前先进行约简,更简化了运算程序。 #

本书物理成就之深奥,题设之复杂,都远远超过了往年同类专著。并且,也有不容忽略的缺点,主要是估算错误太多,几乎每类问题都有可指摘的术、草,并且愈是通俗的问题,错误愈多。 #