期望、和标准差是概率论中最常见的概念

1 个随机变量

1.1 随机现象

在一定条件下并不总是出现相同结果的现象称为随机现象，例如抛硬币和掷骰子。随机现象有两个特点：（1）结果不止一个；（2）结果不只一个。 (2) 事先不知道会发生什么结果 #

1.2 样本空间和样本点 #

随机现象所有可能的基本结果的集合称为样本空间，记作\Omega=\left\{w\right\}，其中w表示基本结果，也称为样本点。 采样点是采样最基本的元素。 单元

1.3 随机变量和随机事件

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与微积分中的变量不同，概率论中的变量有“分布”的概念。 “分布”意味着我们不仅需要知道一个变量可以取哪些值，还需要知道它取这些值的概率。 同时，概率论中的变量也强调随机值，因此常被称为“随机变量”。 那么为什么我们需要添加分布的概念，为什么我们需要知道一个变量取特定值的概率呢？ 原因是随机变量的统计规律可以通过分布来理解。 例如，假设随机变量X代表某种电器产品的使用寿命。 如果从配送时间来看，这对于消费者来说无疑是非常重要的信息。

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使用等号或不等号将随机变量与某些实数连接起来表示随机事件，如 \{X\leq a\} , a\}">\{X> a\} #

2 分布函数和概率密度函数 分布函数

为了掌握随机变量的统计规律，我们必须知道随机变量取各种值（各种事件）的概率，而分布函数本质上就是事件的概率\{X\leq x\}，定义为 F(x )=P(X\leq x)，使用事件 \{X\leq x\} 的原因是 \{a 和 c\}">\{X>c\} 都可以使用事件\{X\leq x\ } 表示

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\{A #

c\}=\Omega-\{X\leq c\}">\{X>c\}=\Omega-\{X\leq c\} #

分布函数的三个重要性质 #

(1)单调性：分布函数是定义在整个实轴(-\infty,\infty)上的单调非减函数；

(2) 有界性：分布函数的取值范围为[0,1]，且\lim_{x \ -\infty }{F(x)} =0，\lim_{x \ +\infty }{F( x)} =1 #

(3) 右连续性：即当x从右侧逼近x_0时，\lim_{x \ x_0^{+0}}{F(x)}=F(x_0+0)=F(x_0)

单调性和有界性更容易理解。 我们应该如何理解正确的连续性？ 右连续性本质上源自分布函数的定义，可以通过海涅定理证明。 不过，把复杂化繁为简（机会主义），我们可以通过离散随机变量的分布函数来理解右连续性，如下图所示，当x从右边逼近x_1时，很明显\lim_{x \ x_1^ {+0}}{F(x)}=F(x_1)

概率密度函数

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对于离散随机变量，常用分布列来表示其分布。 对于连续随机变量，有无穷多个值，不能再使用分布列，需要用概率密度函数来表示其概率分布。 #

如何理解概率密度函数？ 本质上，它仍然是描述“概率”、“可能性”之类的东西。 当p(x)的值很大时，意味着随机变量X取值x的概率很高。用更规范的表达方式来说，概率密度函数p(x)的值不是概率( emm，是什么？只要把这个值理解为概率的密度即可，密度越高，概率越大...），但是p(x)乘以微分元素dx就可以得到概率上的近似值小区间(x,x+dx)，即p(x)dx\ P(x)。 (a,b)上的许多相邻微分元素累加起来就是p(x)在(a,b)上的积分，这个积分值就是概率，即

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\int_{a}^{b}p(x)dx=P(a #

显然 (-\infty,x] 上的积分就是分布函数 #

\int_{-\infty}^{x}p(x)dx=P(X\leq x)=F(x) #

显然F'(x)=p(x)，F(x)是概率函数，其导函数F'(x)自然是概率密度函数 #

3 数据预期

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数学期望以某个值的概率作为“权重”标准差的计算公式，进行加权平均，是一种比平均值更合理的计算方法。 它不仅考虑随机变量的可能值，还考虑取这些值的概率。 #

数学期望源于历史上著名的赌博问题

两个赌徒A和B同样擅长赌博。 每人下注50法郎。 每轮比赛不存在平局。 谁先赢得三轮比赛，谁将获得 100 法郎的全部赌注。 当A赢两局，B赢一局时，停止赌博并问如何公平地分配100法郎？ #

一个常见的想法是：A 得到 2/3，B 得到 1/3

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1654年，帕斯卡提出了如下除法。 假设赌注继续进行。 假设A最终收入为，A赢B赢，B赢A赢，B赢B赢。 这四种情况中的三种标准差的计算公式，A获胜，即A获得100法郎的概率为3/4，B获得100法郎的概率为1/4。 综上，A的“预期”收入为：0\times 0.25+ 100\times 0.75=75 #

这样的划分显然更加合理。 它不仅考虑到已经结束的赌博游戏，还考虑到如果赌博继续进行的情况。 #

对于离散随机变量，期望定义如下

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E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}{x_ip(x_i)} #

这里要求级数 \sum_{i=1}^{\infty}{|x_i|p(x_i)} 绝对收敛，以保证数学期望唯一（由无穷级数理论可知：如果无穷级数绝对收敛，则保证其和不受阶数变化的影响。由于有限项的和不受阶数变化的影响，因此取有限个可能的随机变量的数学期望总是存在。emm，我不太懂无穷级数的理论。先记住，稍后再讲） #

对于连续随机变量，期望定义如下 #

E\left( X \right)=\int_{-\infty}^{\infty}xp\left( x \right)dx #

其中\int_{-\infty}^{\infty}\left| x \right|p\left( x \right)dx

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