“自然数之和等于-1/12”的说法

首先，有一个复数函数，称为zeta函数，表示为

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}=\frac{1}{1^{s}}+\frac{1 {2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\\\ #

当s=-1+i0时，z(s)=1+2+3+4+……。 可见什么是自然数，z(-1+i0)的表达式是所有自然数的和。 显然，这里的 z(-1+i0) 不等于-1/12。

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这时，引入了一个新功能。

其中，函数 z(s) 仅在 Re(s>1) 区域收敛。 将 z(s) 解析扩展后，可以得到新的函数 F(s)。 F(s)也称为黎曼zeta函数，表示为

F(s)=\frac{\Gamma(1-s)}{2\pi i}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{(-z)^{s}ds}{e ^{s}-1}\frac{dz}{z}

F(s)主要有两个特点，一是在整个复数域处处收敛什么是自然数，二是Re(s>1)上F(s)=ze(s)。 #

此时将s=-1+i0代入F(s)，计算结果为-1/12（准确的应该是-1/12+i0）。

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综上所述，更“严谨”的说法是，在解析延拓意义上，所有自然数之和等于-1/12。 #

注1：关于zeta函数z(s)和黎曼zeta函数F(s)的其他介绍，请阅读这篇文章 // #

注2：您可以观看这两个视频来分析延续概念的内涵。 #

也

[数学物理方法]-12-解析延拓、洛朗展开

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