什么是自然数 i:AtoG（A）和i的选取

此时i保持加性并满足：如果存在另一个群B和加性同态f:A\to B，则存在唯一的群同态g:G(A)\to B使得f=gi。

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一般来说什么是自然数，i不一定是单射的（或嵌入的），但如果A也满足消除律()，即\ a,b,x\in A,\ a+x=b+x\iff a= b ，那么我一定是内射的。 #

回到自然数构造整数的过程，因为自然数满足消除律，所以i是一个嵌入。 对于任何自然数 n，n 和 i(n) 当然是不同的，因为它们都存在于不同的集合中。 但你也可以滥用这个符号什么是自然数，将 A 等同于 i(A)。 自然数中唯一有用的东西是加法和零元素，因为 i 是 1，并且这些都保留在 i 的图像中，因此将 i(A) 与 A 相等没有任何损失。 #

ps是一个将完整性变成分组的过程。 因为只有加法而没有逆元素，所以要创建群，就必须引入足够的逆元素。 相当于引入减法。 形式上来说，G(A) 中的所有减法都是 (a, b) = ab，但我们知道 (a, b) 和 (c, d) 可能不相等，但 ab 会等于 cd，这种情况可以发生完全是用加法来描述的，即a+d+e=b+c+e（因为也可能不存在）。 因此，我们这样定义： G(A)=A\times A/ \sim，其中 (a,b)\sim (c,d)\iff a+d+e=b+c+e 。