高中数学第二章参数方程二2双曲线的参数

2023-2023年小学语文第二章参数等式二2双曲线的参数多项式3抛物线的参数多项式教学案新人教A版必修41．双曲线的参数等式(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数多项式是规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠。(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1的参数多项式是2．抛物线的参数等式(1)抛物线y2＝2px的参数多项式为t∈R。(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．双曲线、抛物线参数多项式的基本问题[例1](1)双曲线(α为参数)的焦点座标是．(2)将等式化为普通多项式是．[思路点拨](1)可先将等式化为普通多项式求解；(2)借助代入法消掉t。[解析](1)将化为－＝1，可知双曲线焦点在y轴，且c＝＝4，故焦点座标是(0，±4)．(2)由y＝＝＝tan2t，将tant＝x代入上式，得y＝x2，即为所求多项式．[答案](1)(0，±4)；(2)y＝x2。(1)解决这种问题要熟练把握双曲线与抛物线的参数多项式，非常是将参数等式化为普通多项式，还要明晰参数的意义．(2)对双曲线的参数多项式，若果x对应的参数方式是secφ，则焦点在x轴上；假如y对应的参数方式是secφ，则焦点在y轴上．1．假若双曲线(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，这么P到它的左焦点距离是．解析：由双曲线参数等式可知a＝1，故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6。

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答案：10或62．过抛物线(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，假如x2＋x2＝6。则|AB|＝。解析：化为普通多项式是：x＝即y2＝4x，∴p＝2。∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8。答案：8双曲线、抛物线参数多项式的应用[例2]联结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹多项式，并说明它是何曲线．[思路点拨]由条件可知，M点是线段OP的中点，借助中点座标公式，求出点P的轨迹多项式，再判定曲线类型．[解]设M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数多项式为用中点公式得变型为y0＝x，即P点的轨迹多项式为x2＝4y。表示抛物线．在求曲线的轨迹和研究曲线及多项式的相关问题时，常按照须要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，这些方式是参数法，而涉及曲线上的点的座标时，可依据曲线的参数等式表示点的座标．3．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2。证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－，0)，F2(，0)，双曲线的参数多项式为则：(|F1P|·|F2P|)2＝[(secθ＋)2＋tan2θ]·[(secθ－)2＋tan2θ]＝(sec2θ＋2secθ＋2＋tan2θ)(sec2θ－2secθ＋2＋tan2θ)＝(secθ＋1)2(secθ－1)2＝(2sec2θ－1)2。 #

又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2。一、选择题1．曲线(t为参数)的焦点座标是()A．(1,0)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0，－1)解析：将参数等式化为普通多项式(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．答案：B2．已知某条曲线的参数多项式为(其中a是参数)，则该曲线是()A．线段B．圆C．双曲线D．圆的一部份解析：将所给参数多项式的两式平方后相加抛物线的参数方程，得x2－y2＝1。而且由|x|＝|a＋|≥1，得x≥1或x≤－1抛物线的参数方程，因而易知结果．答案：C3．多项式(t为参数)的图形是()A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支解析：∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4。且x＝et＋e－t≥2＝2。∴表示双曲线的右支．答案：B4．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹多项式是()A．9x2－16y2＝16(y≠0)B．9x2＋16y2＝16(y≠0)C．9x2－16y2＝1(y≠0)D．9x2＋16y2＝1(y≠0)解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，故F1(－5,0)，F2(5,0)，设P(4secθ，3tanθ)，重心M(x，y)，则x＝＝secθ，y＝＝tanθ。

因而有9x2－16y2＝16(y≠0)．答案：A二、填空题5．已知动圆多项式x2＋y2－xsin2θ＋2·ysin(θ＋)＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹多项式是．解析：圆心轨迹的参数多项式为即消掉参数得：y2＝1＋2x(－≤x≤)．答案：y2＝1＋2x(－≤x≤)6．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为．解析：将参数多项式化为y2－＝1，此时a＝1，b＝，设渐近线倾斜角为α，则tanα＝±＝。∴α＝30°或150°。答案：30°或150°7．已知抛物线的参数多项式为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E。若|EF|＝|MF|，点M的横座标是3，则p＝。解析：?y2＝2px，焦点F，过点M作x轴的垂线，垂足为N，由题意可知，△MEF是正三角形，所以∠MFN＝60°，在Rt△MFN中，|FN|＝|MF|cos60°＝，所以3－＝?p＝2。答案：2三、解答题8．已知抛物线(t为参数，p＞0)上的点M，N对应的参数值为t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，求M，N两点间的距离．解：由题知M，N两点的座标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)，∴|MN|＝＝＝2p|t1－t2|＝2p＝4p2。

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故M，N两点间的距离为4p2。9．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．解：设Q(secθ，tanθ)，在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|。又|O1Q|2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tanθ＋4)＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3。当tanθ＝1，即θ＝时，|O1Q|2取最小值3，此时有|O1Q|min＝。∴|PQ|min＝－1。10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹多项式．解：法一：设抛物线的参数多项式为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，则kMN＝＝。又设MN的中点为P(x，y)，则∴kAP＝，由kMN＝kAP知t1·t2＝－，又则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16(－)＝4(x－1)．∴所求轨迹多项式为y2＝4(x－1)．法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M、N在抛物线y2＝8x上知两式相加得y－y＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，∴＝。设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y。由kPA＝，又kMN＝＝＝，∴＝。∴y2＝4(x－1)．∴线段MN的中点P的轨迹多项式为y2＝4(x－1)．