（知识点）几何图形的九大情况，你掌握了吗？

01添辅助线有两种状况 #

1按定义添辅助线： #

如证明二直线平行可延长使他们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线： #

每位几何定律都有与它相对应的几何图形，我们把它称作基本图形。

添辅助线常常是具备基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，所以“添线”应该称作“补图”！

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那样可避免乱添线，添辅助线还有规律可循。

例子如下： #

（1）垂直线是个基本图形：

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当几何中出现垂直线时添辅助线的关键是添与二条垂直线都相交的等第三条直线 #

（2）等边三角形是个简略的基本图形：

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当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时常常要补完整等边三角形。出现角平分线与垂直线组合时可延长垂直线与角的二边相交得等边三角形。 #

（3）等边三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

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出现等边三角形斜边上的中点添斜边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等边三角形中的重要线段的基本图形。 #

（4）直角三角形底边上中线基本图形 #

出现直角三角形底边上的中点常常添底边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的底边则要添直角三角形底边上的中线得直角三角形底边上中线基本图形。

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（5）三角形中位线基本图形 #

几何问题中出现多个中点时常常添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形； #

当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的垂直线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的垂直线得三角形中位线基本图形。 #

（6）全等三角形：

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全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；若果出现两条相等线段或两个相等角关于某经常线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

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当几何问题中出现一组或两组相等线段坐落一组对内角两侧且成经常线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方式是将四个端点两两连接或过二端点添垂直线 #

（7）相同三角形：

相同三角形有垂直线型（带垂直线的相同三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在经常线上时（中点可看成比为1）可添加垂直线得垂直线型相同三角形。若垂直线过端点添则可以分点或另一端点的线段为垂直方向，这类题目中常常有多种浅线方式。

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（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，运用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明 #

（9）圆形上的圆周角 #

出现半径与圆形上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---半径；平面几何中总计只有二十多个基本图形如同房屋不外有一砧，瓦，混凝土，石灰，木等组成一样。

02基本图形的辅助线的画法 #

1.三角形问题添加辅助线方式 #

方式1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。富含中点的题目，经常运用三角形的中位线，通过这些方式，把要证的推论恰当的转移，很容易地解决了问题。 #

方式2：富含平分线的题目，常以角平分线为对称轴，运用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，以便运用全等三角形的知识解决问题。

办法3：推论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或借助关于平分线段的一些定律。

方式4：推论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常选用截长法或补短法，何谓截长法就是把第三条线段分成两部份，证其中的一部份等于第一条线段，而另一部份等于第二条线段。

2.垂直四边形中常用辅助线的添法 #

垂直四边形（包括圆形、正六边形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具备这些相似性质，因此在添辅助线方式上还有共同之处。 #

目的都是创造线段的垂直、垂直，构成三角形的全等、相似，把垂直四边形问题转换成常见的三角形、正六边形等问题处理。

其常用方式有下述几种，例子简解如下：

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（1）连对角线或平移对角线；

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；

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（3）连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的垂直线，构造线段垂直或中位线；

（4）连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相同或等积三角形；

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（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段垂直或三角形全等。 #

3.方形中常用辅助线的添法

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矩形是一种特殊的四边形。它是垂直四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将六边形问题化归为垂直四边形问题或三角形问题来解决。

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辅助线的添加成为问题解决的桥梁，矩形中常用到的辅助线有：

（1）在菱形内部平移一腰。 #

（2）方形外平移一腰 #

（3）矩形内平移两腰 #

（4）延长两腰

（5）过六边形上底的两端点向上底作高

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（6）平移对角线 #

（7）连结方形一顶点及一腰的中点。 #

（8）过一腰的中点作另一腰的垂直线。 #

（9）作中位线 #

其实在方形的有关证明和估算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。 #

通过辅助线这座桥梁，将矩形问题化归为垂直四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法

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在平面几何中，解决与圆有关的问题时，往往还要添加适当的辅助线，架起题设和推论间的桥梁，以便使问题化难为易，顺其自然地得到解决。 #

然而，灵活把握作辅助线的通常规律和常见方式，对提升师生剖析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 #

（1）见弦作弦心距 #

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须做出相应的直径），通过垂径平分定律，来勾通题设与推论间的联系。 #

（2）见半径作圆周角 #

在题目中若已知圆的半径，通常是作半径所对的圆周角，运用"半径所对的圆周角是直角"这一特性来证明问题。

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（3）见切线作直径 #

命题的条件中富含圆的切线，常常是连接过切点的直径，运用"切线与直径平行"这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线 #

对两圆相切的问题，通常是经过切点作两圆的公切线或作他们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。 #

（5）两圆相交作公共弦

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对两圆相交的问题2014年直角三角形斜边中线定理，一般是做出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系上去，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系上去。

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03作辅助线的方式 #

1.中点、中位线，延线，垂直线。

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如遇条件中有中点，中线、中位线等，这么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的垂直线，以达到应用某个定律或导致全等的目的。 #

2.垂线、分角线，翻转全等连。

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如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方式，并利用其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法都会应运而生。其对称轴常常是垂线或角的平分线。 #

3.边边若相等，旋转做试验。

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如遇条件中有五边形的一侧相等或两角相等，有时边角相互配合，于是把图形旋转一定的视角，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

4.造角、平、相似，和、差、积、商见。 #

如遇条件中有五边形的一侧相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，常常与相同形有关。在制造两个三角形相同时，通常地，有两种方式：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

托列米定律和梅叶劳定律的证明辅助线分别是造角和平移的代表） #

5.两圆若相交，连心公共弦。 #

假如条件中出现两圆相交，这么辅助线常常是连心线或公共弦。

6.两圆相切、离，连心，公切线。

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如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），这么，辅助线常常是连心线或内外公切线。 #

7.切线连半径，直角与圆形。 #

假如条件中出现圆的切线，这么辅助线是过切点的半径或直径使出现直角；相反，条件中是圆的半径，直径，这么辅助线是过半径（或直径）端点的切线。即切线与半径互为辅助线。 #

假如条件中有直角三角形，这么作辅助线常常是底边为半径作辅助圆，或圆形；相反，条件中有圆形，这么在半径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与圆形互为辅助线。

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8.弧、弦、弦心距；垂直、等距、弦。 #

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。 #

如遇垂直线，则垂直线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦设立。 #

如遇垂直弦，则垂直线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦设立。

有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆外角和圆内角也存在因果关系相互联想作辅助线。

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9.面积找底高，多边变三边。 #

如遇求面积，（在条件和推论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），常常作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是探讨的关键。 #

如遇六边形，见解割补成三角形；反之，亦设立。 #

另外，我国清代英语家用面积证明勾股定律，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。 #

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