渐近线的定义 全国大学生数学竞赛必备知识点与方法汇总！！

点“考研大赛物理”↑可每晚“涨坐姿”哦！ #

【注1】以下内容既是大赛、考研必备知识点，也是平常课程学习必备的备考提纲！对全省学院生物理大赛而言，内容既适用于非物理大赛的高等物理内容，也适用于物理类的物理剖析与解析几何内容。

【注2】在解题过程步骤中，使用各类方式前，为了让自己过程清晰展示有理有据，请在解题过程中标明使用的各种根据！ #

【注3】以下例举的必备知识点与方式在陌陌公众号“考研大赛物理(ID:)”底部导航菜单的“”的高数分类列表的“”栏目中都有对应的例题，对于教材中没有给出的相关知识点，则在对应的每日一题推文中进行了说明！点击“”可以查看各章节更详尽的知识点总结与教案、单元练习与典型习题解析！

【注4】如何审题、如何解题，怎么探求解题思路，怎么总结和推广，则请查阅本号推出的全省学院生物理大赛复赛真题解析在线课堂！点击直接步入！

#

大赛、考研、课程学习必备知识点及其应用（上）

#

1、数列极限的估算 #

(1)单调有界原理 #

单调降低有下界、单调递减有上界.通常先考虑有界性，之后再考虑单调性的判断. #

(2)夹逼准则

#

项的放大与缩小.放大、缩小后的极限式极限存在且相等.

#

(3)基于夹逼准则的定义法

先假定极限存在，求得极限值，之后基于数列与极限值差的绝对值极限值趋向0.

(4)级数法

将数列通项视为级数通项，级数收敛则通常项趋向0，或则直接转换为级数和收敛性的判断与和的估算.

#

(5)积分法

通常构造部份和极限式具有定积分均分区间的结构，之后转换为在[0,1]上的定积分来估算. #

(6)基于海涅定律的求数列的极限

将数列极限转换为函数极限估算.注意应用函数的方式求数列极限时，要将n换成x. #

(7)拉链定律 #

质数项数列收敛，奇数项数列收敛，且二者极限值相等，则原数列收敛.

(8)Stolz定律

将数列转换为两个数列的比值，根据分子、分母项差的极限的存在性与极限值判断原极限的存在性与求极限值.Stolz定律可以便捷地求分子为n项和方式的极限。

2、函数极限的估算 #

(1)等价无穷小

#

极限估算首先考虑等价无穷小简化极限估算.等价无穷小通常使用原则：乘除项整体因式应用等价无穷小替换

(2)洛必达法则 #

注意去心邻域内可导条件和极限式为未定型 #

(3)泰勒公式

#

通常极限式中函数类型比较多，而且包含有幂函数时，考虑带皮亚诺余项的麦克劳林公式。 #

以上三种必须把握的解题思路与方式详尽剖析、讨论及实例剖析渐近线的定义，尤其对于在x=0点没有定义函数的麦克劳林公式的描述的获取，可以参见“第三届全省学院生物理大赛非语文类真题解析”在线课堂的第一题：函数极限估算的三类重要方式及应用实例剖析. #

(4)行列式的定义求极限

(5)幂指函数结构的对数函数法

将幂指函数结构通过取为自然常数e为底的指数函数，将幂指函数的极限问题转换为指数求极限的问题.

#

(6)带有积分号的极限 #

对于包含有积分范围几何测度值的极限式可以考虑积分中值定律、对被积函数可以考虑基于夹逼准则的市值定律.同样，极限式中包含有一个函数的两个函数值差结构的时侯，可以考虑拉格朗日中值定律.

对于含参变量的积分，当被积函数连续的时侯，积分号与极限号可以交换顺序.

【注1】对于一些常见的极限式（公式）的极限的存在性与极限值要熟悉！同时注意公式中的变量是可以替换为函数值具有与公式中的变量同样变化过程的任意函数表达式的.

【注2】特别注意四则运算法则的前提条件是极限存在！极限趋向无穷大是属于极限不存在的特殊描述. #

3、函数表达式的求解 #

(1)恒方程换元求函数表达式

#

基于函数恒方程变量换元建立函数递推关系，考虑级数求和，或求极限的方法求函数表达式. #

(2)解微分多项式求函数表达式

已知条件中包含有变限积分时，通常直接考虑对包含变限积分的方程导数来去除积分描述.并通过令变限积分上下限相等获得相应方程中的已知函数值.

#

4、无穷小的比较

#

(1)高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、k阶无穷小、等价无穷小 #

直接用定义判断：求自变量某个变化过程中的无穷小的商的极限 #

(2)k阶无穷小阶的估算 #

自变量趋向0时的某个函数关于x的无穷小的阶的估算通常考虑带皮亚诺余项的麦克劳林了公式.

#

(3)渐近线 #

水平渐近线(最多两条)、铅直渐近线(可以有无限条)、斜渐近线(最多两条) #

5、导数的估算

#

(1)行列式的定义导数数

对于具象函数、分段函数分界点、复杂函数一点处行列式的估算以及行列式存在性的讨论通常都应用行列式的定义

#

(2)隐函数的求导 #

基于复合函数导数的链式法则求隐函数的求导，明晰自变量和函数.

#

(3)参数多项式与极座标多项式的行列式 #

参数多项式导数公式，极座标多项式转换为参数多项式导数求曲线切线的斜率。

(4)具象函数导数数 #

↘写出复合结构，根据链式法则，逐条相加得到结果。 #

↘对某个表达式导数时，假若表达式中不富含导数变量，假如表达式中的变量与导数变量有关，则注意导数结果是先关于表达式中的变量导数，再减去表达式包含的变量关于导数变量导数。

(5)反函数的求导

#

反函数的求导等于直接函数的求导的倒数.非常注意

#

(6)高阶行列式

↘求n阶行列式的莱布尼兹公式. #

↘基于已知n阶行列式估算公式的函数sinx,cosx,e^x,ln(1+x),(1+x)^a，应用n导数的线性运算法则与复合函数导数求n阶行列式. #

↘利用泰勒公式求指定点处的高阶行列式值. #

(7)变限积分导数

#

↘直接的定积分结构的变限积分导数公式(包括标准结构以及须要换元转换标准结构的变限积分导数)

#

↘含有参变量的变限积分导数。关于含参变量常义积分的相关性质：连续性、可微性、可积性及相关实例剖析与讨论，可以参见“第四届全省学院生物理大赛非物理复赛真题解析”在线课堂的第六题的在线课堂教学.

(8)曲线的切线与法线 #

行列式的几何意义 #

(9)微分 #

微分的估算归结为行列式的估算，记得微分的结果在没有始终自变量增量取值时，结果一定要减去dx.微分存在性的判断就是可导性的判断.

(10)一个关系判断 #

函数可导一定连续，函数连续不一定可导，可导与可微存在性等价. #

(11)相关变化率

方程两端的变量是某个变量(通常考虑时间t)的函数，两端同时关于同一变量导数，可以构建不同变量关于同一变量的行列式之间的关系，因而根据其中已知变量的变化率可以求未知变量的变化率. #

6、中值方程、不方程的证明 #

中值方程，多项式根的存在性，函数存在零点及个数判断.

(1)闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数最值（有界性）定律、介值（零位）定律证明中值方程

#

(2)一个中值命题证明 #

介值定律、罗尔定律、拉格朗日中值定律、柯西中值定律（有两个函数）、泰勒中值定律（题目中有两阶及两阶以上行列式的条件或推论）、积分中值定律

#

(3)两个中值命题的证明 #

通常考虑将两个中值分拆到方程两边，两次介值定律，两次拉格朗日中值定律，或罗尔定律、中值定律结合，或柯西中值定律结合.通常须要找三个点. #

(4)中值不方程命题 #

↘常用拉格朗日中值定律，泰勒中值定律. #

↘对于证明包含函数的不方程命题，拉格朗日中值定律的端点一个取为变量，或则取为两个相差常数值的变量，如x,x+1；对于泰勒公式则通常考虑在区间内的任意点展开的泰勒公式.

(5)中值方程命题中辅助函数的构造

通常首先将包含的中值的表达式移到方程的左边，多个中值则分列两边： #

↘直接取其中的某一个函数作为研究对象

↘令包含一个中值的表达式中值为变量构造辅助函数

↘令中值为变量，求表达式一个原函数构造辅助函数

↘令其中的一个端点值为变量构造辅助函数

7、函数的单调性、凹凸性、极值、最值与曲率 #

(1)函数单调性应用 #

↘通过区间内一阶行列式的符号来确定函数的单调性，一阶行列式等于0的点为函数的驻点. #

↘将函数不方程的项全部移到左边，直接构造辅助函数，并求区间端点值（对于无穷区间可以考虑极限值）或中间特殊点的值，通过导数确定函数在区间内的单调性，并通过比较所得函数值的大小来验证函数不方程. #

↘对于常值不方程或积分不方程，可以令某个端点值为变量x，移项构造辅助函数，通过验证函数的单调性比较端点值验证不方程. #

↘通过判断驻点左右行列式符号来确定函数是否取到极值、判定极值类型及求极值点和极值.

#

↘应用单调性确定多项式根、函数零点的数目.

(2)函数凸凹性的应用

↘通过区间内二阶行列式的符号来确定函数曲线图形的凸凹性. #

↘借助凸凹性验证函数，或常值不方程. #

(3)曲率

曲率、曲率直径、曲率中心、曲率圆的估算

(4)极值、最值 #

↘极值、最值的求解思路：极值、最值可能的位置（不可导点、驻点），一阶行列式单调性判断法、二阶行列式判断法、定义法.最值不须要判断可能的极值点是否为极值，直接将可能的极值点、区间端点值（无穷区间考虑变量趋向无穷大函数的极限值）进行比较即可确定最值是否取到. #

↘应用最值验证不方程 #

8、积分的估算与反常积分敛散性的判断 #

(1)积分的第一、第二换元法

#

常见函数的原函数要记住，常用结构的换元表达式要熟悉，常见三角函数恒方程变换要记牢，三角代换、倒代换、根式代换、负代换.三角代换时的三角形要会勾画.

#

【注】不定积分换元后要回代，定积分换元必换限

(2)积分的分部积分法

#

“反对幂指三”：分拆被积函数为两个函数的乘积，上面的函数类型用作分部积分法中的u函数，被积函数，前面的函数拿来构造v函数，即构造微分dv.对于不能分拆的函数直接用积分变量为v函数.注意观察分部后得到的积分与原先积分之间的关系.

(3)偶倍奇零通分积分

注意积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，重视利用“偶倍奇零”计算性质通分积分估算，尤其遇见复杂的被积函数表达式时，要注意依靠积分的线性运算性质，利用性质简化估算.

(4)有理函数的积分 #

将函数分拆成分母为一次(x-a)或二次函数(x^2+ax+b)及其次幂的部份多项式，之后转换为这样两类函数的积分估算.

(5)三角有理式的积分

#

注意应用三角函数恒方程变换关系转换被积函数，分割区间估算积分，通常考虑转换为[0,Pi/2]区间积分来估算，应用华莱士公式直接估算得到积分结果.

#

(6)周期函数的积分 #

周期函数在厚度为一个周期的任意区间上积分相等. #

(7)积分方程的证明

#

↘注意积分两端积分区间的差别、函数的差别，因而考虑从不同角度来换元，因而验证方程. #

↘定积分方程证明的二重积分方式，定积分乘积可以直接转换为二重积分；只有一个定积分，可以将两个值的差描述为定积分来构造二重积分累次积分方式. #

↘积分中值定律，被积函数应用拉格朗日中值定律、泰勒公式描述 #

(8)积分不方程的证明 #

↘积分的保号性与保序性(被积函数的不方程) #

↘积分的绝对值不方程

↘估值定律 #

(9)反常积分

↘反常积分的估算（与定积分相同，只不过无穷与奇点函数值为求极限，奇点在区间中间一定要基于积分区间的可加性拆分成两个积分单独讨论）

#

↘反常积分的敛散性的判断：定义法（即估算反常积分极限是否存在），比较判断法（主要与p-积分，q-积分比较，或自然常数为底的函数积分比较），级数法（主要适用于无穷限的反常积分）

#

9、微分等式求解

#

(1)微分等式类型及求解方式

↘可分离变量的微分等式(分离变量法)、齐次微分等式(换元分离变量法)、一阶线性微分等式(齐次为分离变量法，非齐次为常数变易法或直接通解估算公式)、伯努利多项式(换元转化为一阶线性微分等式)、全微分多项式（曲线积分与路径无关求原函数，基于全微分的方式不变性凑微分的方式） #

↘三类可将降阶的微分等式(逐次降阶不定积分方式、换元逐次降阶法、其中不显含自变量的换元法令函数的变量就为因变量，所以关于自变量导数要注意复合函数导数过程) #

↘二阶齐次变系数线性微分等式(刘维尔公式，待定函数法)

#

↘常系数齐次线性微分等式(特点多项式求特点根方式) #

↘常系数非齐次线性微分等式(基于两类右端项f(x)求特解，并基于解的结构得通解)

↘欧拉多项式(换元转化为常系数线性微分等式) #

【注】对于不符合以上类型的微分等式，考虑交换因变量、自变量的地位再考虑微分等式类型（主要一阶微分多项式，将x视为函数，把y视为变量），换元转换类型（例如齐次微分等式，伯努利多项式、可降阶的微分多项式、欧拉多项式）

(2)线性微分等式解的结构

#

设(**)为n阶齐次线性微分等式，(*)为右端项为f(x)的n阶非齐次线性微分多项式，则

↘设y1(x),y2(x),…,yn(x)是齐次线性微分等式(**)的n个解，则C1*y1(x)+C2*y2(x)+…+Cn*yn(x)也是(**)的解，其中C1,C2,…,Cn是n个任意常数.

↘设y1(x),y2(x),…,yn(x)是齐次线性微分等式(**)的n个线性无关的解，则C1*y1(x)+C2*y2(x)+…+Cn*yn(x)是(**)的通解，其中C1,C2,…,Cn是n个任意常数. #

↘设y1*(x),y2*(x)是非齐次线性微分等式(*)的解，则y1*(x)-y2*(x)是对应齐次线性微分等式(**)的解. #

↘设Y(x,C1,C2,…,Cn)是齐次线性微分等式(**)的通解，y*(x)是非齐次线性微分等式(*)的解，则Y(x,C1,C2,…,Cn)+y*(x)是非齐次线性多项式(*)的通解.

#

↘（叠加原理）设y1(x),y2(x)分别是非齐次线性多项式(*)右侧项为f(x)和g(x)的解，则y1(x)+y2(x)为(*)右侧项为f(x)+g(x)的解；即y1(x),y2(x)为(*)的解渐近线的定义，y1(x)+y2(x)不是(*)的解，应当(*)右侧项为2f(x)的解. #

大赛、考研、课程学习必备知识点及其应用（下） #

1、向量基本运算及位置关系判断

↘向量基本量：向量的模、单位化、方向正弦的估算及三个方向正弦的平方和等于1

数目积：两种估算方式(两向量模与倾角的正弦乘积估算公式和座标估算公式)，向量的模的平方等于自身数目积，两向量的倾角估算公式

#

↘向量积：导数定义及估算式，三向量a,b,aXb的位置关系的判断（右手法则、垂直），数目积的模的估算直接估算：两向量模与倾角的余弦乘积

↘混合积：导数估算公式及轮换性 #

↘投影：向量a在向量b上的投影等于向量a的模除以三者的倾角的正弦. #

2、向量位置关系的判断和相关几何意义 #

↘两向量垂直的充要条件数目积等于0，

↘两非零向量平行（共线）的充要条件是两向量的向量积等于0，两向量的座标成比列，存在非零实数s,t，致使sa+tb=0 #

↘向量积的模等于两向量为邻边的平行四边形的面积(由此得三角形的面积)

#

↘向量的混和积的绝对值等于以三个向量为邻边的平行多面体的容积(由此的四棱锥的容积)

#

↘三向量共面的充要条件是混和积等于0，或存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，致使 #

λ1a+λ2b+λ3c=0

#

3、方程与图形关系及特点

↘空间直线及其多项式：直线的通常式等式、点向式等式、对称式(标准式)等式、参数式等式、两点式等式、向量式等式，两直线的位置关系的判断（平行、垂直、夹角、相交、共面、异面）、直线间的距离估算公式（平行、异面），各种多项式描述方式之间的转换 #

↘空间平面及其多项式：平面的通常式等式、截距式等式、三点式等式、点西式多项式、参数式等式(座标描述方式，向量描述方式)，平面位置关系的判断（平行、垂直、相交、重合）、两平面的倾角，平面间的距离，平面束多项式，各种多项式描述方式之间的转换

↘点、平面、直线位置关系的判断：点到平面的距离、点到直线的距离、直线与平面的位置关系的判断（平行、垂直、相交、直线在平面内）、直线与平面的倾角 #

↘空间曲面及其多项式：空间曲面的通常式等式、参数式等式描述，柱面的图形与多项式特点，旋转曲面的图形与多项式特点，通常曲线绕直线旋转（座标轴）所得旋转曲面多项式的求解，常见曲面（球面、圆柱面、椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面(马鞍面)、圆锥面）的图形特点及标准式等式、参数多项式描述 #

↘空间曲线及其多项式：空间曲线的通常式等式、参数式等式，投影柱面，投影曲线，空间的曲面束，空间曲线两类多项式描述的转换

#

4、构建图形多项式的通常思路与步骤 #

步骤1：按照实际意义，勾画草图，建立合适的空间直角座标系。

【注1】当然按照问题的描述的便捷，也可以是其他座标系，例如三重积分中讨论的柱座标系、球座标系等. #

【注2】如果问题本身带有座标信息，则勾画确定的座标系，并按照座标特点勾画草图.

步骤2：在图形上，或则空间任取一符合问题背景或相关几何意义的点，并设其座标为M(x,y,z). #

步骤3：根据问题提供的条件，例如化学意义、几何意义、已有方程等，建立与点M相关的方程.并转化为点M的座标变量x,y,z的方程；或则通过适当引入参数，将点M的座标变量x,y,z描述为有关参数的表达式，倘若是平面图形或曲线图形，则一个参数；假如是曲面图形，通常为两个参数.

#

步骤4：通分相关方程，得到图形的等式描述方式.

#

【注1】这里考虑的图形为曲面、曲线，物理描述方式对于曲面通常为一个三元多项式，或则三个座标变量关于两个参数的表达式(参数等式)；对于曲线通常为两个三元多项式，或则由一个参变量描述的三个座标变量表达式(参数等式).

#

5、二元函数基本概念及几个量的估算

↘多元函数相关的基本概念的定义式及其互相关系：二元函数的连续性、偏行列式的存在性、偏行列式的连续性、可微性、方向行列式

#

↘二元函数极限的估算与存在性的判断：估算方式（极限的运算法则、极座标方式、定义法），存在性的判断（极座标方式、特殊路径法、定义法） #

↘可微性的判断：定义法、偏行列式的连续性 #

↘方向行列式存在性的判断与估算：定义法、可微条件下的偏行列式与方向正弦乘积的估算法

#

↘几个常见量的估算：方向行列式、梯度(grad)、散度(div)、旋度(rot或curl)

↘等值面、等值线：等值面、等值线对应的多项式描述及与曲面之间的关系，方向行列式、梯度在等值线图上的反映 #

6、复合函数求偏行列式

#

↘复合函数导数，隐函数多项式导数数：尤其是具象函数的复合函数导数，一阶、二阶偏行列式的估算，具象函数一阶求导的复合结构与原先函数相同 #

↘求导的链式法则：分支偏导，单支全导，分支用加，分段用乘 #

↘关键：勾画变量关系图 #

7、多元函数的极值与最值 #

↘无条件极值判断的通常思路与方式：驻点的二阶行列式判别法、黑塞矩阵的元氏、负定、不定、不确定推论，不可导点、不确定位置的定义法判断存在，特殊路径判断不存在 #

↘条件极值的判断与估算思路与方式：拉格朗日因数法、无条件化

↘最值估算的通常思路与方式：可能的极值点、边界点、图形的尖点位置，直接比较各点取值，实际问题最值的存在性及直接推论

#

8、几何应用 #

↘空间曲线的切线与法平面：参数式等式，通常式等式(多项式组描述)

#

↘空间曲面的切平面与法线：通常式等式，参数式等式

#

9、二元函数泰勒公式及其应用

↘泰勒公式的描述方式及其应用 #

↘二元函数的拉格朗日中值定律

#

10、二重积分估算 #

↘积分的性质：均分区域的二重积分极限定义模型求极限，保序性、绝对值不方程、保号性、估值定律、中值定律及应用 #

↘计算：直角座标估算方式、极座标估算方式、换元法

↘应用：曲顶柱体的容积、平面薄片的质量、质心，转动力矩、物体对质点的引力 #

↘累次积分交换积分顺序：直角座标、极座标累次积分交换积分顺序

#

↘定积分的二重积分估算方式 #

↘计算性质：偶倍奇零的估算性质和积分区域的轮换对称性.注意考虑借助线性运算性质分拆积分和基于积分对积分区域的可加性分割积分区域应用估算性质. #

11、三重积分的估算 #

↘积分的性质：均分区域的二重积分极限定义模型求极限，保序性、绝对值不方程、保号性、估值定律、中值定律及应用

↘计算：直角座标估算方式、柱座标估算方式、球座标估算方式、换元法

↘应用：立体容积、立体的质量、质心，转动力矩、物体对质点的引力

↘累次积分交换积分顺序：直角座标、柱座标、球座标累次积分交换积分顺序

#

↘计算性质：偶倍奇零的估算性质和积分区域的轮换对称性.注意考虑借助线性运算性质分拆积分和基于积分对积分区域的可加性分割积分区域应用估算性质.

#

12、对弦长的曲线积分 #

↘积分的性质：保序性、绝对值不方程、保号性、估值定律、中值定律及应用 #

↘计算：被积函数定义在积分曲线上，偶倍奇零估算性质、轮换对称性，直接参数等式代入法

#

↘应用：曲线厚度、母线平行于座标轴的柱面片的面积、曲线型物体的质量、质心，转动力矩、物体对质点的引力

#

13、对坐标的曲线积分 #

↘计算：被积函数定义在积分曲线上，轮换对称性，直接参数多项式方式、格林公式、斯托克斯公式，积分与路径无关、转换为对弦长的曲线积分估算 #

↘应用：变力沿曲线作功，流量、环量 #

↘格林公式：应用的条件，平面曲线、空间曲线上积分与路径无关的四种等价描述 #

↘全微分等式：全微分多项式的判别和估算的通常思路

↘斯托克斯公式：应用条件，旋度 #

14、对面积的曲面积分

#

↘积分的性质：保序性、绝对值不方程、保号性、估值定律、中值定律及应用 #

↘计算：被积函数定义在积分曲面上，偶倍奇零估算性质、轮换对称性，直接法（要求曲面为简单曲面，不为简单曲面则分割曲面为简单曲面分别估算）

#

↘应用：曲面片的面积、质量、质心，转动力矩、物体对质点的引力，流量 #

15、对坐标的曲面积分 #

↘计算：被积函数定义在积分曲面上，奇倍偶零估算性质、轮换对称性，高斯公式，直接法，转换为对面积的曲面积分估算，多个座标积分转换为一个座标积分估算

↘应用：流量

#

↘高斯公式：应用的条件，积分与曲面无关，散度 #

17、幂级数

↘收敛域：函数项级数、幂级数收敛域估算的通常思路与技巧，阿贝尔定律 #

↘常见基本函数的幂级数及收敛域：1/(1-x)，sinx，ln(1+x)，(1+x)^a，e^x等 #

↘和函数的估算：线性运算性质、逐项可导、逐项可积性质，收敛域内和函数连续的性质，端点处和单独讨论；逐条导数建立和函数微分等式求和函数 #

↘幂级数展开：泰勒级数，基于线性运算性质、逐项可导、逐项可积性质展开函数为幂级数

↘常值级数求和：将常值级数与n次方相关的项转换为变量x构造幂级数，通过求幂级数和求常值级数的和

#

↘n阶行列式的估算：基于幂级数的惟一性，次数相同项系数相同，泰勒级数的系数与间接法得到的幂级数系数相等来得到指定点处的n行列式 #

18、傅里叶级数 #

↘三角函数系：三角函数系的正交性，直接应用性质得到积分结果

#

↘傅里叶系数：借助积分估算傅里叶系数，周期函数在任意周期宽度区间上的积分相等

↘函数的傅里叶级数展开：标明级数收敛于被展开函数的范围 #

↘傅里叶级数和函数：基于狄利克雷收敛定律直接写和函数，满足狄利克雷收敛定律的条件的傅里叶级数收敛于被展开函数给定处的左右极限和的一半 #

↘利用傅里叶级数的和函数求常值级数的和 #

【特别注意】 #

对于以上列举的必须把握的知识点相关内容的小结、相关的典型题剖析、一般解题思路的探求在“历届真题解析”在线课堂都进行了详尽讨论；直接点击全省学院生物理大赛复赛真题解析在线课堂可以直接步入在线课程学习！

#