排列组合CN和AN公式 小学数学必做100题，老师们一定要知道！

※排列定义?从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按顺序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。通常不说可重即无重。可重排列的相应记号为P(n,r),P(n,r)。组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的次序，称为从n个中取r个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。排列组合的基本理论和公式排列与元素的次序有关，组合与次序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合．(一)两个基本原理是排列和组合的基础(1)乘法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方式，在第二类办法中有m2种不同的方式，……，在第n类办法中有mn种不同的方式，这么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方式．(2)除法原理：做一件事，完成它须要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方式，做第二步有m2种不同的方式，……，做第n步有mn种不同的方式，这么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方式．这儿要注意分辨两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方式都是独立的，因而用乘法原理；做一件事，须要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个相互联系的步骤，依次陆续完成，这件事才算完成，因而用除法原理．这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因而也将两个原理区分开来．(二)排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，根据一定的次序排成一列排列组合CN和AN公式，称作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，假如两个排列相同，除了这两个排列的元素必须完全相同，但是排列的次序必须完全相同，这就告诉了我们怎样判定两个排列是否相同的方式．(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！(三)组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，称作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从组合的定义知，假如两个组合中的元素完全相同，不管元素的次序怎样，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个这儿要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的次序排成一列”与“不管怎么的次序并成一组”这是有本质区别的．[例题剖析]1．首先明晰任务的意义例.某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的宽度相同，如图。

若规定只能向东或向西两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?剖析：对实际背景的剖析可以逐层深入（一）从M到N必须向下走三步，往右走五步，共走八步。（二）每一步是向下还是往右，决定了不同的走法。（三）事实上，当把向下的步骤决定后，剩下的步骤只能往右。因而，任务可表述为：从八个步骤中选出哪三步是向下走，就可以确定走法数，本题答案为：=56。2．注意乘法原理与除法原理的特性，剖析是分类还是分步，是排列还是组合例．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中刚好有一双同色的取法有。(A)240(B)180(C)120(D)60剖析：其实本题应分步解决。（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方式；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方式。（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方式；（四）因为选定与次序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因此共240种。3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑例．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至分辨出所有次品为止。若所有次品正好在第五次测试时被全部发觉，则这样的测试方式有多少种可能?剖析：本题意指第五次测试的产品一定是次品排列组合CN和AN公式，而且是最后一个次品，因此第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能；第二步：前四次有一件正品有C(6.1)中可能。第三步：前四次有P(4.4)种可能。共有种可能。4．捆绑与插空例.某人射箭8枪，命中4枪，正好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?剖析：连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因此这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，何必计数。即在四发空枪之间产生的5个空中选出2个的排列，即P(5.2)。4．间接计数法.(1)排除法例．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个多面体?剖析：所求问题的方式数=任意选四点的组合数-共面四点的方式数，共C(8.4)-12=70-12=58个。5．挡板的使用例．10个名额分配到八个班，每班起码一个名额，问有多少种不同的分配方式?剖析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间产生的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方法就相当于一种分配方法。因此共36种。6．注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。例.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，(1)可组成多少个不同的四位数?(2)可组成多少个不同的四位质数?(3)可组成多少个能被3整除的四位数?(4)将(1)中的四位数按从小到大的次序排成一数列，问第85项是哪些?剖析：（1）有个。

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（2）分为两类：0在末位，则有种：0不在末位，则有种。共+种。（3）先把四个相乘能被3整除的四个数从小到大列出下来，即先选0，1，2，30，1，3，50，2，3，40，3，4，51，2，4，5它们排列下来的数一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96种。（4）首位为1的有=60个。前两位为20的有=12个。前两位为21的有=12个。因此第85项是前两位为23的最小数，即为2301。7．分组问题例.6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方式为。剖析：（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。第一类：平均分成3人一组，有种方式。第二类：分成2人，4人各一组，有种方式。（二）再考虑分别上两辆不同的车。综合（一）（二），有种。