重新推导BSM：探寻可接受的模糊正确与需调整的精确错误上篇

倪世杨

每名金工专业的学生都接受过BSM教育。这一具有里程碑意义的公式，不仅推动了期权市场的繁荣，更开启了Q-quant领域的大门，吸引众多理工科背景的人才投身金融行业。然而金融并非工科亦非数学，缺乏种瓜得瓜种豆得豆的明确结果；交易过程也并非纯粹的模型运算2024几何布朗运动，任何变量都混杂着现实世界的干扰因素。实践当中关键在于“有效”，而“恰当”只在关乎“有效”的层面上具备价值。秉持这种视角，我们再审视一遍BSM理论，分析其中哪些前提属于可以容忍的“大致准确”，哪些则需要修正的“绝对偏差”。

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这篇文章分为三个部分，上半部分分析了几何布朗运动的长处和不足，并说明了它的三种形态各自的直观认识。中间部分深入剖析了Black公式的形成逻辑，考察了卖空约束和交易成本对该模型构建的作用。后半部分从BSM模型出发，延伸至BSM，用浅显易懂的方式阐释了Risk-的内涵。这篇文章试图把数学表达转化为直观理解，帮助那些没有接触过机械加工但具备一定概率论知识的同行们，能够明白BSM的推演过程，进而加入对模型原理的探讨中去。 #

GBM的优势与局限

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股价波动最基础的一种模式，就是几何布朗运动。这个模式描绘了这样一个情形：如果你持有某公司的证券，那么下一秒钟资产增值的情况，既包含可以预见的部分，也带有不可预测的成分。通过数学公式表达出来，这个模式就显得格外专业： #

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有些是股价的明确变化,例如我们相信中石油股价每年必定上涨百分之十,当前中石油股价为每股市值一百元,那么持有它一秒钟所获得的确定回报便是

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是随机部分，个服从正态分布的随机变量，均值为0，标准差为 #

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如果中国海洋石油的年度波动幅度是二十个百分点，那么一秒钟内的随机成分的偏差程度为

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也就是说有95%的概率随机部分绝对值小于0.6%。

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股价的波动真的可以分解为确定因素和偶然因素吗？深入探讨的话，这是一个哲学层面的问题，或许永远也无法找到确切答案。股价的变动能否视为确定因素和偶然因素的总和呢？这种模式看起来相当通用，稍加调整后便能解释诸多情况，例如

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收益的标准化形态表现为日度资本增值与日度波动幅度之比，该比值呈现出典型的常态分布状况

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时间越来越紧迫，起伏的减弱程度远逊于持续的增长：观察的时段越短暂，无序变动的减弱速率，远远比不上稳定盈利的减少速度，这与我们主张“不宜频繁进行短期操作”的体会一致

- ? ? ? ??收益肥尾分布的特征可以通过在 #

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上施加自相关性得到。

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这个模型虽然解释力尚可，结构却十分精简，可以先试用一下，这或许才是采用GBM来模拟资产价格的根本缘由。

GBM也有它的局限。最重要有以下两点

它一个显著的缺点是无法重现价格缺口，所以借助几何布朗运动去推算资产价位，将会大幅度降低对价格跳空风险的评估。

它无视了变现风险。几乎每个模型都假定市场中有所谓“即时报价”这种东西。实际上投资者所能获得的仅是此刻的买卖档位，而买卖档位都存在价差。所以诸如几何布朗运动这类绝大多数模型都忽略了变现风险，这在交易活动非常活跃时会低估价格偏离程度，在价格剧烈波动时会低估市场潜在风险。

GBM的三种形式 #

GBM有三种形式：

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这个概念源于直觉，旨在说明短期资本收益包含确定性因素和偶然成分。

求解过程涉及猜测成分，属于偏微分方程求解范畴，其核心方法就是凭借猜测实现。

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通过求导，可以将解析解转化为对数收益率形式，这一过程需要借助伊藤引理。本质上，问题在于探究时间t向前推进一个极小的时间增量dt时，对数收益率logst会发生怎样的变动，这等同于必须计算出

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，再乘以dt就是了。注意到logst是st的函数，而st又是t的函数，细心的读者或许会联想到高中时学过的“复合函数求导”。情况确实如此，只是因为st和t之间的函数关系带有随机性，“复合函数求导”的公式需要相应调整，这就是所谓的伊藤引理。

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log收益率的表达方式是认识GBM最直接的方式，这种表达方式意味着“股票在短时间内的log收益率遵循正态分布”。短时间内的log收益率基本上等同于“收益率”，因此这种表达方式实际上是在说明“股票短期的收益率遵循正态分布”。这体现了模型从简的思路。这个理论前提其实约束力不大，由于风险变动的确存在连续性，又或者是变动路径不可预测，因此证券的短期获利情况仅是特定情形下的常态分布，而整体获利模式则会相当多变，足以涵盖现实交易中的各种状况。 #

Log收益率该怎么理解

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通过log形式能直接获得解析解，只需进行累加操作即可。Log收益的独特优势在于它具有完全可加的特性。通常情况下，我们讨论涨幅时计算的都是基本收益率。例如中海油从100元上涨到130元，基本收益率就是30%。基本收益率存在不足，因为它并不具备严格可加性。数值由100增至130，涨幅为30个百分点；再由130增至150，涨幅为15个百分点；然而整体上从100升至150，增幅达到50个百分点，并非简单的30个百分点与15个百分点的相加，即不是45个百分点。 #

是否存在一种收益率的计算方式，其满足严格可加性？对数收益率就符合这一特性，当价值从100增长至130时，其对应的对数收益率为对数函数计算130除以100的结果，若价值从130继续增至150，则对应的对数收益率为对数函数计算150除以130的结果，而若价值从100直接增至150，其对应的对数收益率为对数函数计算150除以100的结果，这个结果恰好等于前两个对数收益率的和，即对数函数计算130除以100的结果加上对数函数计算150除以130的结果，因此对数收益率具有严格可加性。

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对数收益率的不足之处在于其表达方式不够直白，尽管能够被理解为“等比复利产生的年化回报率”，然而在现实生活中，极少有事物是真正实现“等比复利”的。我认为对数收益率更恰当的解读是它属于“回报率”的一种表现形式。归根结底，回报率是一个人为设定的指标2024几何布朗运动留学之路，而收益才是客观存在的事实。这样一来，我就能确定不同方法的“成效”，只要运算结果能够成功转化成效益就行。 #